Procenti: kako se računaju, formula i zadaci sa rešenjima

Procenat je stoti deo celine: 1% od nekog broja je taj broj podeljen sa 100, pa je 1% od 2.400 dinara 24 dinara. Procenti se računaju po formuli P = G · p / 100, gde je G osnovna vrednost (celina), p procenat, a P procentni iznos (deo koji tražiš). Na primer, 15% od 2.400 je 2.400 · 15 / 100 = 360.

Ispod su formula i tri tipa zadataka, popust, PDV i poskupljenje, uzastopni procenti, promil, trikovi za računanje napamet, šest rešenih primera iz života i zadaci sa rešenjima.

Šta je procenat?

Reč procenat dolazi od latinskog per centum, „na sto“. Kada kažeš da je 30% učenika u odeljenju dobilo peticu, to znači da je od svakih 100 učenika peticu dobilo njih 30. Isti broj možeš da zapišeš na tri načina:

Procenat u decimalni broj pretvaraš deljenjem sa 100 (8% = 0,08), a decimalni broj u procenat množenjem sa 100 (0,35 = 35%).

Formula za procente

U svakom zadatku sa procentima pojavljuju se tri veličine:

• G – osnovna vrednost: celina, ono od čega računaš (cena, plata, broj učenika),
• p – procenat: broj ispred znaka % (15 u 15%),
• P – procentni iznos: deo celine koji odgovara tom procentu.

P = G · p / 100
p = P · 100 / G
G = P · 100 / p

Dovoljno je zapamtiti prvu formulu. Druge dve dobijaš kada iz nje izraziš veličinu koju tražiš.

Tri osnovna tipa zadataka

Kod drugog tipa najčešća greška je zamena brojeva. Celina uvek ide u imenilac: pitaš „koliko je 45 od 180“, pa je 180 osnovna vrednost.

Popust, PDV i poskupljenje

Kada se cena menja za neki procenat, ne moraš da računaš u dva koraka. Množiš odmah:

• povećanje za p%: nova vrednost = G · (1 + p/100), na primer za 20% množiš sa 1,2,
• smanjenje za p%: nova vrednost = G · (1 − p/100), na primer za 20% množiš sa 0,8.

Popust. Jakna košta 4.500 dinara, popust je 20%: 4.500 · 0,8 = 3.600 dinara. Ušteda je 900 dinara.

PDV. Opšta stopa PDV-a u Srbiji je 20%, a posebna stopa od 10% važi za deo proizvoda i usluga, na primer za hleb i lekove. Ako je cena bez PDV-a 10.000 dinara, cena sa PDV-om je 10.000 · 1,2 = 12.000 dinara.

Obrnuto je mesto gde se najviše greši. Ako je cena sa PDV-om 6.000 dinara, osnovicu ne dobijaš oduzimanjem 20% od 6.000 (to bi bilo 4.800), nego deljenjem sa 1,2:

6.000 / 1,2 = 5.000 dinara bez PDV-a
PDV = 6.000 − 5.000 = 1.000 dinara

Provera: 20% od 5.000 je 1.000. PDV je, dakle, 1/6 cene sa PDV-om, a ne 20% od nje.

Poskupljenje. Hleb je poskupeo sa 80 na 92 dinara. Promena je 12 dinara, a osnova je stara cena:

p = 12 / 80 · 100 = 15%

Zašto +10% pa −10% nije nula?

Zato što se drugi procenat računa od nove, veće osnovice.

1.000 + 10% = 1.000 · 1,1 = 1.100
1.100 − 10% = 1.100 · 0,9 = 990

Ukupno: 1,1 · 0,9 = 0,99, odnosno cena je pala za 1%. Isto važi za dva uzastopna popusta: popust 20% pa još 10% nije 30%, nego 0,8 · 0,9 = 0,72, odnosno ukupno 28%. Patike od 5.000 dinara koštaće 3.600, a ne 3.500 dinara.

Još upečatljiviji primer: ako akcija padne 50%, pa poraste 50%, sa 100 dinara pada na 50, pa raste na 75. Da bi se vratila na 100, mora da poraste 100%.

Procenat i procentni poen nisu isto. Ako kamata poraste sa 4% na 5%, porasla je za 1 procentni poen, ali za 25%, jer je 1 četvrtina od 4.

Šta je promil?

Promil (‰) je hiljaditi deo celine: 1‰ = 1/1000 = 0,001 = 0,1%. Računa se isto kao procenat, samo se deli sa 1000 umesto sa 100:

3‰ od 50.000 = 50.000 · 3 / 1000 = 150

U promilima se izražava, na primer, koncentracija alkohola u krvi i salinitet mora.

Kako da računaš procente napamet?

• 10%: pomeri decimalni zarez jedno mesto ulevo. 10% od 3.450 = 345.
• 1%: pomeri zarez dva mesta ulevo. 1% od 3.450 = 34,5.
• 5%: polovina od 10%. 5% od 3.450 = 172,5.
• 20%: dvaput 10%. 20% od 3.450 = 690.
• 15%: 10% + 5%. 15% od 3.450 = 345 + 172,5 = 517,5.
• 25%: četvrtina. 25% od 3.600 = 900.
• 50%: polovina.
• Zamena mesta: a% od b isto je što i b% od a. Zato je 8% od 50 isto što i 50% od 8, a to je 4.

Šest rešenih primera iz života

Primer 1: popust na patike

Patike koštaju 8.990 dinara, a na sniženju su 30% jeftinije. Kolika je nova cena?

popust = 8.990 · 30 / 100 = 2.697 dinara
nova cena = 8.990 − 2.697 = 6.293 dinara
(ili odmah: 8.990 · 0,7 = 6.293)

Primer 2: povišica

Plata od 85.000 dinara povećana je za 8%. Kolika je nova plata?

85.000 · 1,08 = 91.800 dinara (povišica je 6.800)

Primer 3: koliko je PDV na računu

Na računu piše 3.600 dinara sa PDV-om od 20%. Koliki je PDV?

bez PDV-a: 3.600 / 1,2 = 3.000 dinara
PDV: 3.600 − 3.000 = 600 dinara

Primer 4: rezultat na testu

Na testu si osvojio 34 od 40 bodova. Koliko je to procenata?

p = 34 / 40 · 100 = 85%

Primer 5: poskupljenje struje

Račun za struju porastao je sa 7.500 na 8.100 dinara. Za koliko procenata?

razlika = 8.100 − 7.500 = 600
p = 600 / 7.500 · 100 = 8%

Primer 6: kolika je bila cena pre popusta

Posle popusta od 25% torba košta 4.500 dinara. Kolika je bila cena pre popusta?

4.500 je 75% stare cene
G = 4.500 / 0,75 = 6.000 dinara

Provera: 25% od 6.000 je 1.500, a 6.000 − 1.500 = 4.500.

Česte greške

• Pogrešna osnovica. Procenat promene uvek računaš u odnosu na staru vrednost.
• Sabiranje uzastopnih procenata. Popust 20% pa 10% nije 30%, nego 28%.
• Oduzimanje 20% od cene sa PDV-om. Osnovicu dobijaš deljenjem sa 1,2.
• Vraćanje stare cene. Ako je cena posle popusta od 25% 4.500, stara cena nije 4.500 + 25%, nego 4.500 / 0,75.
• 0,5% i 50%. 0,5% je 0,005, a ne 0,5.
• Procenat i procentni poen. Rast sa 4% na 5% je 1 procentni poen, ali 25%.

Proveri znanje: zadaci za vežbu

1. Koliko je 12% od 850?
2. Koliko procenata je 18 od 72?
3. 15% nekog broja je 45. Koji je to broj?
4. Jakna košta 6.400 dinara, popust je 15%. Kolika je nova cena?
5. Cena bez PDV-a je 2.500 dinara. Kolika je cena sa PDV-om od 20%?
6. Cena sa PDV-om je 1.440 dinara. Kolika je cena bez PDV-a i koliki je PDV?
7. Cena od 2.000 dinara poraste 25%, a zatim padne 20%. Kolika je konačna cena?
8. Broj učenika u školi porastao je sa 480 na 540. Za koliko procenata?
9. Koliko je 4‰ od 25.000?
10. Izračunaj napamet 5% od 1.260.
11. Posle popusta od 40% cena je 1.800 dinara. Kolika je bila cena pre popusta?
12. Kamata je porasla sa 3% na 4,5%. Za koliko procentnih poena, a za koliko procenata?

Rešenja

1.  850 · 12 / 100 = 102
2.  18 / 72 · 100 = 25%
3.  45 · 100 / 15 = 300
4.  6.400 · 0,85 = 5.440 dinara
5.  2.500 · 1,2 = 3.000 dinara
6.  1.440 / 1,2 = 1.200 dinara; PDV = 240 dinara
7.  2.000 · 1,25 = 2.500;  2.500 · 0,8 = 2.000 dinara
    (cena je ista kao na početku, jer je 1,25 · 0,8 = 1)
8.  60 / 480 · 100 = 12,5%
9.  25.000 · 4 / 1000 = 100
10. 10% = 126, polovina je 63
11. 1.800 / 0,6 = 3.000 dinara
12. 1,5 procentni poen; 1,5 / 3 · 100 = 50%

Procenti na završnom ispitu

Procenti se u osnovnoj školi uvode uz razlomke i decimalne brojeve, a do kraja osmog razreda koriste se u sve složenijim zadacima. Na završnom ispitu iz matematike često se pojavljuje bar jedan zadatak sa procentima: popust, poskupljenje, deo odeljenja ili očitavanje procenata sa grafikona.

Ako se pogubiš čim zadatak ima više koraka, profesor matematike može da prođe sa tobom kroz tipične zadatke dok postupak ne postane rutina. Za sve ostalo važi isto pravilo: prvo odredi šta je celina, pa tek onda računaj.