Pitagorina teorema: formula, zadaci sa rešenjima i trojke

Pitagorina teorema kaže da je u pravouglom trouglu kvadrat hipotenuze jednak zbiru kvadrata kateta: c² = a² + b². Katete su dve stranice koje grade prav ugao, a hipotenuza je stranica naspram pravog ugla. Teorema važi samo za pravougli trougao, a pomoću nje iz dve poznate stranice računaš treću.

U ovom tekstu imaš formulu u sva tri oblika, ideju dokaza, tabelu pitagorinih trojki, šest rešenih zadataka od lakših ka težim i test za vežbu sa rešenjima na kraju.

Šta kaže Pitagorina teorema?

Posmatraj pravougli trougao sa katetama a i b i hipotenuzom c. Ako nad svakom stranicom nacrtaš kvadrat, površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbiru površina kvadrata nad katetama:

c² = a² + b²

Hipotenuzu je lako prepoznati: ona je uvek naspram pravog ugla i uvek je najduža stranica trougla.

U zadacima su ti obično poznate dve stranice, a tražiš treću. Zato formulu koristiš u jednom od ova tri oblika:

Pravilo za pamćenje: kada tražiš hipotenuzu, sabiraš kvadrate; kada tražiš katetu, oduzimaš od kvadrata hipotenuze.

Obrnuta Pitagorina teorema

Važi i obrnuto: ako za stranice trougla važi a² + b² = c², gde je c najduža stranica, taj trougao je pravougli. Tako proveravaš da li je trougao pravougli bez merenja ugla. Na primer, za stranice 6, 8 i 10: 36 + 64 = 100 = 10², pa je trougao pravougli.

Zašto važi Pitagorina teorema?

Postoji više od stotinu dokaza, a jedan od najjednostavnijih radi se preko površina.

Nacrtaj kvadrat stranice a + b. U njegove uglove smesti četiri ista pravougla trougla sa katetama a i b, tako da im hipotenuze unutra zatvore manji kvadrat stranice c. Površinu velikog kvadrata sada možeš da izračunaš na dva načina:

(a + b)² = 4 · (a · b / 2) + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²

Sa leve strane je površina celog kvadrata, sa desne zbir četiri trougla i unutrašnjeg kvadrata. Kada sa obe strane skratiš 2ab, ostaje upravo Pitagorina teorema.

Šta su pitagorine trojke?

Pitagorine trojke su tri prirodna broja koja zadovoljavaju a² + b² = c². Ako ih prepoznaš u zadatku, rezultat znaš odmah, bez računanja korena.

Svaki umnožak trojke je takođe trojka. Od 3, 4, 5 dobijaš 6, 8, 10, pa 9, 12, 15 i 12, 16, 20. Od 5, 12, 13 dobijaš 10, 24, 26. Kada vidiš katete 15 i 20, to je 3, 4, 5 pomnoženo sa 5, pa je hipotenuza 25.

Kako se rešavaju zadaci sa Pitagorinom teoremom?

Postupak je uvek isti:

1. Nacrtaj sliku i pronađi pravougli trougao. Kod pravougaonika, kvadrata, romba i jednakokrakog trougla moraš sam da ga „izvučeš“.
2. Označi koja stranica je hipotenuza.
3. Napiši formulu, uvrsti brojeve i izračunaj kvadrate.
4. Korenuj i dopiši jedinicu mere.

Zadatak 1: hipotenuza

Katete pravouglog trougla su a = 6 cm i b = 8 cm. Izračunaj hipotenuzu.

c² = a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10 cm

Zadatak 2: kateta

Hipotenuza pravouglog trougla je c = 13 cm, a jedna kateta a = 5 cm. Izračunaj drugu katetu.

b² = c² − a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
b = √144 = 12 cm

Zadatak 3: dijagonala pravougaonika i kvadrata

Dijagonala deli pravougaonik na dva pravougla trougla. Stranice pravougaonika su katete, a dijagonala je hipotenuza.

Pravougaonik ima stranice 9 cm i 12 cm. Kolika je dijagonala?

d² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
d = √225 = 15 cm

Kod kvadrata stranice a obe katete su jednake, pa je d² = a² + a² = 2a², odnosno d = a√2. Za kvadrat stranice 5 cm:

d = 5√2 ≈ 5 · 1,414 ≈ 7,07 cm

Zadatak 4: visina jednakokrakog trougla

Jednakokraki trougao ima osnovicu a = 10 cm i krak b = 13 cm. Izračunaj visinu na osnovicu i površinu.

Visina na osnovicu deli trougao na dva pravougla trougla. U svakom je krak hipotenuza, a katete su visina i polovina osnovice (5 cm).

h² = b² − (a/2)² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
h = 12 cm
P = a · h / 2 = 10 · 12 / 2 = 60 cm²

Zadatak 5: visina jednakostraničnog trougla

Jednakostranični trougao ima stranicu a = 6 cm. Izračunaj visinu.

Visina deli trougao na dva pravougla trougla sa hipotenuzom 6 cm i katetom 3 cm.

h² = 6² − 3² = 36 − 9 = 27
h = √27 = 3√3 ≈ 5,20 cm

Opšta formula za visinu jednakostraničnog trougla je h = a√3 / 2. Za a = 6 dobijaš 6√3 / 2 = 3√3, isto kao gore.

Zadatak 6: primena u životu

Merdevine dužine 5 m prislonjene su uz zid. Donji kraj merdevina je 1,4 m od zida. Do koje visine na zidu dosežu merdevine?

Zid i pod grade prav ugao, merdevine su hipotenuza.

h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04
h = √23,04 = 4,8 m

Isti račun koriste i majstori kada proveravaju da li je ugao prav: odmere 3 m na jednom zidu i 4 m na drugom, pa ako je razmak između tih tačaka tačno 5 m, ugao je prav.

Koje greške se najčešće prave?

• Teorema na trouglu koji nije pravougli. Za trougao bez pravog ugla a² + b² = c² ne važi.
• Pogrešna hipotenuza. Hipotenuza je naspram pravog ugla, a ne „stranica koja je dole“ na slici. Ako ti je izračunata kateta duža od hipotenuze, negde je greška.
• Sabiranje umesto oduzimanja. Za katetu računaš c² − b², ne c² + b².
• Korenovanje zbira „na prečac“. √(9 + 16) = √25 = 5, a ne √9 + √16 = 7.
• Zaboravljen koren. Iz c² = 100 sledi c = 10, a ne 100.
• Cela osnovica umesto polovine kod visine jednakokrakog i jednakostraničnog trougla.
• Različite jedinice. Pre računanja sve pretvori u iste jedinice, na primer sve u centimetre.

Proveri znanje: zadaci za vežbu

Reši zadatke u svesci, pa uporedi sa rešenjima ispod. Gde rezultat nije ceo broj, zaokruži na dve decimale.

1. Katete pravouglog trougla su 9 cm i 12 cm. Izračunaj hipotenuzu.
2. Hipotenuza je 17 cm, a jedna kateta 8 cm. Izračunaj drugu katetu.
3. Da li je trougao sa stranicama 7 cm, 24 cm i 25 cm pravougli?
4. Da li je trougao sa stranicama 6 cm, 7 cm i 9 cm pravougli?
5. Izračunaj dijagonalu kvadrata stranice 8 cm.
6. Dijagonale romba su 16 cm i 12 cm. Izračunaj stranicu i obim romba.
7. Jednakokraki trougao ima osnovicu 16 cm i krak 10 cm. Izračunaj visinu na osnovicu i površinu.
8. Dijagonala pravougaonika je 25 cm, a jedna stranica 7 cm. Izračunaj drugu stranicu i površinu.
9. Zmaj je na kanapu dužine 50 m. Dete stoji 30 m od tačke koja je tačno ispod zmaja. Na kojoj visini je zmaj (ako zanemariš visinu deteta)?
10. Izračunaj visinu jednakostraničnog trougla stranice 10 cm.

Rešenja

1.  c² = 81 + 144 = 225, c = 15 cm
2.  b² = 289 − 64 = 225, b = 15 cm
3.  Da: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²
4.  Ne: 6² + 7² = 36 + 49 = 85, a 9² = 81
5.  d = 8√2 ≈ 11,31 cm
6.  Dijagonale romba se polove pod pravim uglom:
    katete su 8 cm i 6 cm, a² = 64 + 36 = 100,
    a = 10 cm, O = 4 · 10 = 40 cm
7.  h² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36, h = 6 cm
    P = 16 · 6 / 2 = 48 cm²
8.  b² = 625 − 49 = 576, b = 24 cm
    P = 7 · 24 = 168 cm²
9.  h² = 50² − 30² = 2500 − 900 = 1600, h = 40 m
10. h = 10√3 / 2 = 5√3 ≈ 8,66 cm

U kom razredu se uči Pitagorina teorema?

Pitagorina teorema se po programu nastave i učenja obrađuje u sedmom razredu osnovne škole, i to direktna i obrnuta teorema, sa primenama u računskim i konstruktivnim zadacima. Posle toga se stalno koristi, na primer kod površine i zapremine geometrijskih tela i u srednjoj školi. Deo je i obrazovnih standarda za završni ispit, gde se traži da izračunaš nepoznatu stranicu pravouglog trougla i rešavaš zadatke pomoću Pitagorine teoreme.

Ako ti i dalje nije jasno kada je koja stranica hipotenuza ili se zaglaviš na zadacima sa telima, nekoliko časova sa profesorom matematike obično je dovoljno da se postupak „slegne“. Profesor ti pokaže gde da nacrtaš pravougli trougao, a ostalo je vežba.