Kvadratna jednačina: formula, diskriminanta i rešeni primeri

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax² + bx + c = 0, gde su a, b i c realni brojevi i a ≠ 0. Rešava se formulom x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a, gde je D = b² − 4ac diskriminanta. Od znaka diskriminante zavisi da li jednačina ima dva, jedno ili nijedno realno rešenje.

U nastavku imaš formulu, objašnjenje diskriminante, brže postupke za nepotpune jednačine, Vietove formule, šest rešenih primera i zadatke za vežbu sa rešenjima.

Šta je kvadratna jednačina?

U jednačini ax² + bx + c = 0 brojevi imaju svoja imena:

• a je koeficijent uz x² (vodeći koeficijent) i ne sme biti 0, inače jednačina nije kvadratna,
• b je koeficijent uz x,
• c je slobodan član.

Pre rešavanja jednačinu uvek svedi na oblik „nešto = 0“ i pročitaj koeficijente, zajedno sa znakom:

Koja je formula za rešenja kvadratne jednačine?

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Znak ± znači da računaš dva puta: jednom sa plusom (x₁), jednom sa minusom (x₂). Razlomačka crta je ispod celog brojioca, a ne samo ispod korena.

Izraz ispod korena zove se diskriminanta:

D = b² − 4ac

Najsigurnije je da prvo izračunaš D, pa tek onda rešenja.

Šta znači diskriminanta?

Kada je D < 0, jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva, ali u skupu kompleksnih brojeva ima dva konjugovano kompleksna rešenja. Zato je preciznije reći „nema realnih rešenja“ nego „nema rešenja“.

Kako se rešavaju nepotpune kvadratne jednačine?

Kada je b = 0 ili c = 0, formula radi, ali postoji brži put.

Dve stvari na koje treba paziti:

• Iz x² = 9 slede dva rešenja, 3 i −3.
• Ako je −c/a negativno, na primer x² + 4 = 0, odnosno x² = −4, jednačina nema realnih rešenja.

Šta su Vietove formule?

Vietove formule povezuju rešenja sa koeficijentima:

x₁ + x₂ = −b / a
x₁ · x₂ = c / a

Koriste se na tri načina:

• Provera rešenja. Za x² − 5x + 6 = 0 rešenja 2 i 3 imaju zbir 5 = −(−5)/1 i proizvod 6 = 6/1. Tačno.
• Pogađanje rešenja kada je a = 1. Traže se dva broja čiji je zbir −b, a proizvod c. Za x² − 5x + 6 = 0 to su 2 i 3.
• Sastavljanje jednačine iz rešenja. Jednačina sa rešenjima x₁ i x₂ je x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Za rešenja 3 i −5: zbir je −2, proizvod −15, pa je jednačina x² + 2x − 15 = 0.

Iz istog razloga kvadratni trinom možeš da rastaviš na činioce: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Rešeni primeri kvadratnih jednačina

Primer 1: dva rešenja

Reši x² − 5x + 6 = 0.

a = 1, b = −5, c = 6
D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
x₁,₂ = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2

Primer 2: rešenja su razlomci

Reši 2x² + 3x − 2 = 0.

a = 2, b = 3, c = −2
D = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25
x₁,₂ = (−3 ± 5) / 4
x₁ = 2/4 = 1/2, x₂ = −8/4 = −2

Provera Vietovim formulama: zbir 1/2 + (−2) = −3/2 = −b/a, proizvod 1/2 · (−2) = −1 = c/a.

Primer 3: jedno (dvostruko) rešenje

Reši x² − 6x + 9 = 0.

D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0
x = 6 / 2 = 3

Leva strana je potpun kvadrat: x² − 6x + 9 = (x − 3)².

Primer 4: nema realnih rešenja

Reši x² + 2x + 5 = 0.

D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16 < 0

Jednačina nema realnih rešenja. U skupu kompleksnih brojeva √(−16) = 4i, pa je x₁,₂ = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i.

Primer 5: prvo svedi na normalni oblik

Reši x(x + 4) = 3(x + 2).

x² + 4x = 3x + 6
x² + x − 6 = 0
D = 1² − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25
x₁,₂ = (−1 ± 5) / 2
x₁ = 2, x₂ = −3

Provera za x = 2: leva strana 2 · 6 = 12, desna 3 · 4 = 12.

Primer 6: tekstualni zadatak

Proizvod dva uzastopna prirodna broja je 72. Koji su to brojevi?

Ako je manji broj n, veći je n + 1:

n(n + 1) = 72
n² + n − 72 = 0
D = 1 + 288 = 289, √D = 17
n₁,₂ = (−1 ± 17) / 2
n₁ = 8, n₂ = −9

Broj −9 nije prirodan, pa ga odbacuješ. Traženi brojevi su 8 i 9, a 8 · 9 = 72.

Koje greške se najčešće prave?

• Znak koeficijenta b. Ako je b = −5, onda je −b = 5. Ovde nastaje najviše grešaka.
• Kvadrat negativnog broja. (−5)² = 25, a ne −25. Piši zagradu kada uvrštavaš negativan broj.
• Deljenje samo korena sa 2a. Ceo brojilac, i −b i √D, deli se sa 2a.
• Deljenje jednačine sa x. Iz 3x² = 12x ne sledi samo x = 4. Ako podeliš sa x, gubiš rešenje x = 0. Umesto toga izvuci x ispred zagrade.
• Samo pozitivan koren. Iz x² = 16 slede x = 4 i x = −4.
• Jednačina nije svedena na nulu. Pre čitanja a, b i c sve članove prebaci na levu stranu.
• Nema provere. Uvrsti rešenje u početnu jednačinu ili proveri zbir i proizvod Vietovim formulama. Traje pola minuta.

Proveri znanje: zadaci za vežbu

Reši jednačine u skupu realnih brojeva, pa uporedi sa rešenjima ispod.

1. x² − 7x + 10 = 0
2. x² + 4x − 21 = 0
3. 3x² − 27 = 0
4. 2x² − 8x = 0
5. x² − 10x + 25 = 0
6. 2x² − 5x + 3 = 0
7. x² − 2x + 3 = 0
8. 6x² − x − 2 = 0
9. Bez rešavanja odredi zbir i proizvod rešenja jednačine x² − 9x + 14 = 0.
10. Za koju vrednost broja m jednačina x² − 6x + m = 0 ima jedno dvostruko rešenje?

Rešenja

1.  D = 49 − 40 = 9;  x = (7 ± 3) / 2  →  x₁ = 5, x₂ = 2
2.  D = 16 + 84 = 100;  x = (−4 ± 10) / 2  →  x₁ = 3, x₂ = −7
3.  x² = 9  →  x₁ = 3, x₂ = −3
4.  2x(x − 4) = 0  →  x₁ = 0, x₂ = 4
5.  D = 100 − 100 = 0  →  x = 5
6.  D = 25 − 24 = 1;  x = (5 ± 1) / 4  →  x₁ = 3/2, x₂ = 1
7.  D = 4 − 12 = −8 < 0  →  nema realnih rešenja
    (u skupu kompleksnih brojeva: x = 1 ± i√2)
8.  D = 1 + 48 = 49;  x = (1 ± 7) / 12  →  x₁ = 2/3, x₂ = −1/2
9.  x₁ + x₂ = 9,  x₁ · x₂ = 14  (rešenja su 2 i 7)
10. D = 36 − 4m = 0  →  m = 9  (tada je x = 3)

U kom razredu se uči kvadratna jednačina?

U osnovnoj školi se u sedmom razredu rešava samo jednačina oblika x² = a. Cela kvadratna jednačina, sa diskriminantom i Vietovim formulama, po programu nastave i učenja za gimnaziju uči se u drugom razredu, u temi „Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija“. U srednjim stručnim školama to zavisi od programa matematike za smer. Kasnije je osnova za kvadratne nejednačine, sisteme jednačina i veliki deo zadataka na prijemnim ispitima.

Ako ti i dalje nije jasno odakle dolaze znaci u formuli ili se gubiš u zadacima sa parametrom, profesor matematike može da prođe sa tobom kroz desetak tipičnih zadataka dok postupak ne postane rutina. Za sve ostalo važi isto pravilo: prvo D, pa rešenja, pa provera.